To zadanie maturalne z matematyki (poziom podstawowy) dotyczy zastosowania funkcji kwadratowej w zagadnieniu optymalizacyjnym — szukamy największej wartości zysku. Poniżej znajdziesz pełne rozwiązanie krok po kroku.
Treść zadania
Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 196 zł za sztukę. Miesięczny koszt wyprodukowania $x$ krzeseł jest równy $K(x) = 4x^2 + 4x + 240$ (w złotych), a miesięczne wpływy ze sprzedaży $x$ krzeseł wynoszą $P(x) = 196x$ (w złotych). Miesięczny zysk $Z(x)$ jest różnicą wpływów i kosztów. Oblicz, ile krzeseł powinien wyprodukować zakład w ciągu miesiąca, aby osiągnąć największy zysk, i wyznacz ten największy zysk.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Zapisujemy funkcję zysku jako różnicę wpływów i kosztów:
$$Z(x) = P(x) – K(x) = 196x – (4x^2 + 4x + 240) = -4x^2 + 192x – 240$$
Krok 2. Funkcja $Z$ jest funkcją kwadratową o współczynniku $a = -4 < 0$, więc jej wykres to parabola skierowana ramionami w dół — największą wartość przyjmuje w wierzchołku. Pierwsza współrzędna wierzchołka:
$$x_w = \frac{-b}{2a} = \frac{-192}{2 \cdot (-4)} = \frac{-192}{-8} = 24$$
Krok 3. Największy zysk to wartość funkcji w wierzchołku, czyli $Z(24)$:
$$Z(24) = -4 \cdot 24^2 + 192 \cdot 24 – 240 = -2304 + 4608 – 240 = 2064$$
Odpowiedź
Zakład powinien wyprodukować 24 krzesła miesięcznie, a największy możliwy zysk wynosi 2064 zł.
Co warto zapamiętać
W zadaniach optymalizacyjnych z funkcją kwadratową o ujemnym współczynniku $a$ największą wartość znajdujemy zawsze w wierzchołku paraboli. Kluczowy jest wzór na pierwszą współrzędną wierzchołka $x_w = \frac{-b}{2a}$.
Potrzebujesz pomocy z matematyki?
Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania maturalne samodzielnie, umów bezpłatną lekcję próbną z korepetytorem TutorLink. Uczymy krok po kroku, indywidualnie i w tempie dopasowanym do Ciebie.
