To zadanie maturalne z matematyki (poziom podstawowy) sprawdza własności środka symetrii równoległoboku oraz wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych. Poniżej znajdziesz pełne rozwiązanie krok po kroku.
Treść zadania
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $A=(-1,-4)$ jest wierzchołkiem równoległoboku $ABCD$. Punkt $S=(2,2)$ jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Długość przekątnej $AC$ równoległoboku $ABCD$ jest równa:
A) $\sqrt{5}$
B) $2\sqrt{5}$
C) $3\sqrt{5}$
D) $6\sqrt{5}$
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Środek symetrii równoległoboku to punkt przecięcia przekątnych, który dzieli każdą z nich na połowy. Zatem $S$ jest środkiem przekątnej $AC$, więc wierzchołek $C$ jest obrazem punktu $A$ w symetrii względem $S$:
$$C = (2x_S – x_A,\; 2y_S – y_A) = (2\cdot 2 – (-1),\; 2\cdot 2 – (-4)) = (5,\; 8)$$
Krok 2. Obliczamy długość przekątnej $AC$ ze wzoru na odległość dwóch punktów:
$$|AC| = \sqrt{(5-(-1))^2 + (8-(-4))^2} = \sqrt{6^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$$
Odpowiedź
Poprawna odpowiedź to D) $6\sqrt{5}$.
Co warto zapamiętać
Przekątne równoległoboku przecinają się i dzielą na połowy w jego środku symetrii. Dzięki temu przeciwległy wierzchołek wyznaczamy jako obraz danego w symetrii środkowej: $C = 2S – A$.
Potrzebujesz pomocy z matematyki?
Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania maturalne samodzielnie, umów bezpłatną lekcję próbną z korepetytorem TutorLink. Uczymy krok po kroku, indywidualnie i w tempie dopasowanym do Ciebie.
