Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba (2n+1)2−1 jest podzielna przez 8.

Załóżmy, że dla pewnej liczby naturalnej k, gdzie k ≥ 1, zachodzi:

jest podzielne przez 8.

Teraz pokażemy, że dla k + 1 również to zachodzi.
Rozważmy wyrażenie dla k + 1:

Rozwijając to wyrażenie otrzymujemy:

Teraz zauważmy, że:

Ponieważ (k + 1) i (k + 2) są dwiema kolejnymi liczbami naturalnymi, z których jedna jest parzysta, to iloczyn (4(k + 1)(k + 2)) musi być podzielny przez 8.

Stąd wynika, że dla n = k + 1, wyrażenie

również jest podzielne przez 8.

Zatem, przez indukcję matematyczną pokazaliśmy, że dla każdej liczby naturalnej (n ≥ 1), wyrażenie

jest podzielne przez 8.

Leave a Comment

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *