To zadanie maturalne z matematyki (poziom podstawowy) łączy własność kąta wpisanego opartego na średnicy z twierdzeniem o odcinkach stycznej i siecznej. Poniżej znajdziesz pełne rozwiązanie krok po kroku.
Treść zadania
Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku $S$. Prosta $k$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$. Prosta $l$ przecina ten okrąg w punktach $B$ i $C$. Proste $k$ i $l$ przecinają się w punkcie $D$, przy czym $|BC| = 4$ i $|CD| = 3$. Odległość punktu $A$ od prostej $l$ jest równa:
A) $\frac{7}{2}$
B) $5$
C) $\sqrt{12}$
D) $\sqrt{3}+2$
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Korzystamy z twierdzenia o stycznej i siecznej poprowadzonych z punktu $D$: kwadrat długości odcinka stycznej $DA$ jest równy iloczynowi całej siecznej $DB$ i jej części zewnętrznej $DC$. Najpierw $|DB| = |DC| + |CB| = 3 + 4 = 7$, więc:
$$|DA|^2 = |DC| \cdot |DB| = 3 \cdot 7 = 21 \quad\Rightarrow\quad |DA| = \sqrt{21}$$
Krok 2. Kąt $ACB$ jest oparty na średnicy $AB$, więc jest kątem prostym. Zatem $AC \perp l$ i to właśnie odcinek $AC$ jest szukaną odległością punktu $A$ od prostej $l$. Oznaczmy $x = |AC|$. W trójkącie prostokątnym $ACD$ (kąt prosty przy $C$) zachodzi $|AC|^2 + |CD|^2 = |AD|^2$:
$$x^2 + 3^2 = 21$$
Krok 3. Rozwiązujemy równanie:
$$x^2 = 21 – 9 = 12 \quad\Rightarrow\quad x = \sqrt{12}$$
Odpowiedź
Poprawna odpowiedź to C) $\sqrt{12}$.
Co warto zapamiętać
Kąt wpisany oparty na średnicy okręgu jest zawsze prosty — to często klucz do wskazania trójkąta prostokątnego. Przydatne jest też twierdzenie o stycznej i siecznej: $|DA|^2 = |DC| \cdot |DB|$.
Potrzebujesz pomocy z matematyki?
Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania maturalne samodzielnie, umów bezpłatną lekcję próbną z korepetytorem TutorLink. Uczymy krok po kroku, indywidualnie i w tempie dopasowanym do Ciebie.
