To zadanie z matury podstawowej z matematyki (maj 2026) łączy ciąg zadany wzorem ogólnym z warunkiem na ciąg geometryczny. Poniżej znajdziesz pełne rozwiązanie krok po kroku.
Treść zadania
Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 3n + 5$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Trzywyrazowy ciąg $(a_1,\ a_9,\ a_k)$ jest geometryczny. Oblicz $k$.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Obliczamy wyrazy $a_1$ oraz $a_9$ ze wzoru ciągu:
$$a_1 = 3 \cdot 1 + 5 = 8, \qquad a_9 = 3 \cdot 9 + 5 = 32$$
Krok 2. Ciąg $(a_1, a_9, a_k)$ jest geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów sąsiednich: $a_9^2 = a_1 \cdot a_k$. Stąd:
$$32^2 = 8 \cdot a_k \quad\Rightarrow\quad 1024 = 8 a_k \quad\Rightarrow\quad a_k = 128$$
Krok 3. Korzystamy ze wzoru ciągu $a_k = 3k + 5$ i rozwiązujemy równanie:
$$3k + 5 = 128 \quad\Rightarrow\quad 3k = 123 \quad\Rightarrow\quad k = 41$$
Odpowiedź
$k = 41$.
Sprawdzenie
$a_{41} = 3 \cdot 41 + 5 = 128$. Iloraz ciągu geometrycznego: $\frac{a_9}{a_1} = \frac{32}{8} = 4$ oraz $\frac{a_k}{a_9} = \frac{128}{32} = 4$ — wynik się zgadza.
Co warto zapamiętać
W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów z nim sąsiadujących: $a_9^2 = a_1 \cdot a_k$. To najkrótsza droga do rozwiązania tego typu zadań.
Potrzebujesz pomocy z matematyki?
Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania maturalne samodzielnie, umów bezpłatną lekcję próbną z korepetytorem TutorLink. Uczymy krok po kroku, indywidualnie i w tempie dopasowanym do Ciebie.
Powiązane
Zobacz wszystkie rozwiązania zadań z matury 2026. Przeczytaj też: Matura 2026 (maj) zadanie 21 oraz Matura 2026 (maj) zadanie 22.