Matura 2026 (maj) zadanie 21 – dwusieczna kąta, stosunek pól trójkątów – rozwiązanie

To zadanie na dowód pochodzi z matury podstawowej z matematyki (maj 2026). Wykorzystuje własność dwusiecznej kąta oraz wzór na pole trójkąta z sinusem kąta. Poniżej znajdziesz pełne rozwiązanie krok po kroku.

Treść zadania

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM| = a$ oraz $|LM| = b$. Dwusieczna kąta $LMK$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$. Wykaż, że stosunek pola trójkąta $KNM$ do pola trójkąta $NLM$ jest równy $\frac{a}{b}$.

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Dwusieczna kąta $LMK$ dzieli ten kąt na dwa równe kąty. Oznaczmy $\angle KMN = \angle NML = \varphi$.

Krok 2. Oba trójkąty $KNM$ i $NLM$ mają wspólny bok $MN$. Zapisujemy ich pola ze wzoru $P = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y \cdot \sin\gamma$, gdzie $\gamma$ to kąt między bokami $x$ i $y$. Dla trójkąta $KNM$ bierzemy boki $MK = a$ oraz $MN$ z kątem $\varphi$ między nimi, a dla trójkąta $NLM$ — boki $ML = b$ oraz $MN$ z tym samym kątem $\varphi$:

$$[KNM] = \frac{1}{2} \cdot a \cdot |MN| \cdot \sin\varphi, \qquad [NLM] = \frac{1}{2} \cdot b \cdot |MN| \cdot \sin\varphi$$

Krok 3. Obliczamy stosunek pól — wspólne czynniki $\frac{1}{2}$, $|MN|$ oraz $\sin\varphi$ skracają się:

$$\frac{[KNM]}{[NLM]} = \frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot |MN| \cdot \sin\varphi}{\frac{1}{2} \cdot b \cdot |MN| \cdot \sin\varphi} = \frac{a}{b}$$

Krok 4. Zatem stosunek pola trójkąta $KNM$ do pola trójkąta $NLM$ jest równy $\frac{a}{b}$. Co należało wykazać.

Co warto zapamiętać

Wzór na pole trójkąta $P = \frac{1}{2}xy\sin\gamma$ jest bardzo wygodny, gdy dwa trójkąty mają wspólny bok i równe kąty (na przykład przy dwusiecznej). Wspólne czynniki skracają się wówczas w ilorazie pól.

Potrzebujesz pomocy z matematyki?

Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania na dowód samodzielnie, umów bezpłatną lekcję próbną z korepetytorem TutorLink. Uczymy krok po kroku, indywidualnie i w tempie dopasowanym do Ciebie.

Powiązane

Zobacz wszystkie rozwiązania zadań z matury 2026. Przeczytaj też: Matura 2026 (maj) zadanie 22 oraz Matura 2026 (maj) zadanie 27.