To zadanie maturalne z matematyki (poziom podstawowy) dotyczy pola powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego. Poniżej znajdziesz pełne rozwiązanie krok po kroku.
Treść zadania
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 6. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:
A) $216 + 18\sqrt{3}$
B) $216 + 54\sqrt{3}$
C) $216 + 216\sqrt{3}$
D) $216 + 108\sqrt{3}$
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Powierzchnia boczna składa się z 6 jednakowych prostokątów o wymiarach $6 \times 6$ (krawędź podstawy razy wysokość graniastosłupa):
$$P_b = 6 \cdot (6 \cdot 6) = 6 \cdot 36 = 216$$
Krok 2. Podstawą jest sześciokąt foremny o boku 6, złożony z 6 trójkątów równobocznych o boku 6. Pole jednego trójkąta równobocznego to $\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$, więc pole podstawy:
$$P_p = 6 \cdot 9\sqrt{3} = 54\sqrt{3}$$
Krok 3. Graniastosłup ma dwie podstawy, zatem pole powierzchni całkowitej:
$$P_c = 2P_p + P_b = 2 \cdot 54\sqrt{3} + 216 = 216 + 108\sqrt{3}$$
Odpowiedź
Poprawna odpowiedź to D) $216 + 108\sqrt{3}$.
Co warto zapamiętać
Pole sześciokąta foremnego o boku $a$ obliczamy jako sumę pól sześciu trójkątów równobocznych: $P = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$. Pole całkowite graniastosłupa to suma pól dwóch podstaw i powierzchni bocznej.
Potrzebujesz pomocy z matematyki?
Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania maturalne samodzielnie, umów bezpłatną lekcję próbną z korepetytorem TutorLink. Uczymy krok po kroku, indywidualnie i w tempie dopasowanym do Ciebie.
