To zadanie maturalne z matematyki (poziom podstawowy) sprawdza umiejętność wyznaczania kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy. Poniżej znajdziesz pełne rozwiązanie krok po kroku.
Treść zadania
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 6. Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego (łącząca przeciwległe wierzchołki podstawy) jest dwa razy dłuższa od boku:
$$d = 2 \cdot 6 = 12$$
Krok 2. Dłuższa przekątna przestrzenna $D$ łączy przeciwległe wierzchołki graniastosłupa i tworzy trójkąt prostokątny, w którym jedną przyprostokątną jest dłuższa przekątna podstawy $d = 12$, a drugą — wysokość graniastosłupa $H = 6$:
$$D = \sqrt{d^2 + H^2} = \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$$
Krok 3. Kąt $\alpha$ nachylenia przekątnej do podstawy leży w tym trójkącie prostokątnym, a przyprostokątną do niego przyległą jest $d$. Cosinus tego kąta to iloraz przyprostokątnej przyległej i przeciwprostokątnej:
$$\cos\alpha = \frac{d}{D} = \frac{12}{6\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$
Odpowiedź
Cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy wynosi $\cos\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Co warto zapamiętać
Kąt nachylenia przekątnej bryły do podstawy rozpatrujemy zawsze w trójkącie prostokątnym, którego jedną przyprostokątną jest rzut przekątnej na podstawę, a drugą — wysokość bryły. Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego o boku $a$ jest równa $2a$.
Potrzebujesz pomocy z matematyki?
Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania maturalne samodzielnie, umów bezpłatną lekcję próbną z korepetytorem TutorLink. Uczymy krok po kroku, indywidualnie i w tempie dopasowanym do Ciebie.
