Matura 2026 (maj) zadanie 27 – objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego – rozwiązanie

To zadanie z matury podstawowej z matematyki (maj 2026) dotyczy obliczania objętości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego z wykorzystaniem kąta nachylenia krawędzi bocznej do podstawy. Poniżej znajdziesz pełne rozwiązanie krok po kroku.

Treść zadania

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość $8\sqrt{3}$. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Podstawą jest kwadrat o przekątnej $d = 8\sqrt{3}$. Pole kwadratu obliczamy wprost z przekątnej ze wzoru $P_p = \frac{d^2}{2}$:

$$P_p = \frac{(8\sqrt{3})^2}{2} = \frac{192}{2} = 96$$

Krok 2. Spodkiem wysokości ostrosłupa jest środek podstawy. Odległość środka kwadratu od wierzchołka podstawy to połowa przekątnej: $\frac{d}{2} = 4\sqrt{3}$. Krawędź boczna, ten odcinek oraz wysokość $H$ tworzą trójkąt prostokątny, w którym krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem $30^\circ$. Wysokość leży naprzeciw tego kąta, a odcinek $4\sqrt{3}$ — przy nim, więc:

$$\tan 30^\circ = \frac{H}{4\sqrt{3}} \quad\Rightarrow\quad H = 4\sqrt{3} \cdot \tan 30^\circ = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4$$

Krok 3. Objętość ostrosłupa obliczamy ze wzoru $V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$:

$$V = \frac{1}{3} \cdot 96 \cdot 4 = 128$$

Odpowiedź

Objętość tego ostrosłupa jest równa $128$.

Co warto zapamiętać

Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy rozpatrujemy w trójkącie prostokątnym utworzonym przez krawędź boczną, wysokość ostrosłupa oraz odcinek łączący środek podstawy z wierzchołkiem podstawy (połowa przekątnej). Pole kwadratu z przekątnej to $P = \frac{d^2}{2}$.

Potrzebujesz pomocy z matematyki?

Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania maturalne samodzielnie, umów bezpłatną lekcję próbną z korepetytorem TutorLink. Uczymy krok po kroku, indywidualnie i w tempie dopasowanym do Ciebie.

Powiązane

Zobacz wszystkie rozwiązania zadań z matury 2026. Przeczytaj też: Matura 2026 (maj) zadanie 30 oraz Matura 2026 (maj) zadanie 7.