To zadanie z matury podstawowej z matematyki (maj 2026) sprawdza obliczanie prawdopodobieństwa w modelu klasycznym oraz cechy podzielności. Poniżej znajdziesz pełne rozwiązanie krok po kroku.
Treść zadania
Dane są dwa zbiory cyfr: $X = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ oraz $Y = \{0, 2, 4, 6, 8\}$. Losujemy jedną cyfrę ze zbioru $X$, a następnie jedną cyfrę ze zbioru $Y$. Zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru $X$ jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru $Y$ jest cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że otrzymana liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez $6$.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Losujemy niezależnie jedną cyfrę z $X$ (5 możliwości) i jedną z $Y$ (5 możliwości). Wszystkich możliwych liczb dwucyfrowych jest:
$$|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25$$
Krok 2. Liczba jest podzielna przez $6$ wtedy, gdy jest jednocześnie podzielna przez $2$ i przez $3$. Cyfra jedności pochodzi ze zbioru $Y$, więc jest zawsze parzysta — każda z tych liczb jest już podzielna przez $2$. Pozostaje warunek podzielności przez $3$: suma cyfr musi być podzielna przez $3$.
Krok 3. Sprawdzamy, dla których par (cyfra dziesiątek $x$, cyfra jedności $y$) suma $x + y$ dzieli się przez $3$:
- $x = 1$: $y \in \{2, 8\}$ — liczby $12, 18$,
- $x = 3$: $y \in \{0, 6\}$ — liczby $30, 36$,
- $x = 5$: $y \in \{4\}$ — liczba $54$,
- $x = 7$: $y \in \{2, 8\}$ — liczby $72, 78$,
- $x = 9$: $y \in \{0, 6\}$ — liczby $90, 96$.
Zdarzeniu $A$ sprzyja więc $2 + 2 + 1 + 2 + 2 = 9$ liczb, czyli $|A| = 9$.
Krok 4. Obliczamy prawdopodobieństwo w modelu klasycznym:
$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{9}{25}$$
Odpowiedź
$$P(A) = \frac{9}{25}$$
Co warto zapamiętać
Liczba jest podzielna przez $6$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez $2$ i przez $3$. Podzielność przez $3$ sprawdzamy sumą cyfr. W modelu klasycznym $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$.
Potrzebujesz pomocy z matematyki?
Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania maturalne samodzielnie, umów bezpłatną lekcję próbną z korepetytorem TutorLink. Uczymy krok po kroku, indywidualnie i w tempie dopasowanym do Ciebie.
Powiązane
Zobacz wszystkie rozwiązania zadań z matury 2026. Przeczytaj też: Matura 2026 (maj) zadanie 7 oraz Matura 2026 (maj) zadanie 10.