Matura 2026 (maj) zadanie 12 – funkcja określona wzorami na przedziałach – rozwiązanie

To zadanie z matury podstawowej z matematyki (maj 2026) dotyczy funkcji określonej różnymi wzorami na różnych przedziałach (funkcji „sklejanej”). Poniżej znajdziesz pełne rozwiązanie obu części krok po kroku.

Treść zadania

Funkcja $f$ jest określona następująco:

$$f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{dla } x \in \langle -4,\ 2\rangle \\ -x + 5 & \text{dla } x \in (2,\ 5) \end{cases}$$

Zadanie 12.1. Rozwiązaniem równania $f(x) = 3$ jest liczba …… , a największa wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle 2,\ 3\rangle$ jest równa …… .

Zadanie 12.2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział …… , a zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości większe od $1$, jest przedział …… .

Rozwiązanie zadania 12.1

Równanie $f(x) = 3$. Rozpatrujemy oba wzory. Na przedziale $\langle -4, 2\rangle$: $x + 2 = 3$, więc $x = 1$, i liczba $1$ należy do tego przedziału. Na przedziale $(2, 5)$: $-x + 5 = 3$, więc $x = 2$, ale $2 \notin (2, 5)$, więc to rozwiązanie odrzucamy. Zatem rozwiązaniem równania jest liczba $x = 1$.

Największa wartość na $\langle 2, 3\rangle$. Punkt $x = 2$ należy do przedziału $\langle -4, 2\rangle$, więc $f(2) = 2 + 2 = 4$. Dla $x \in (2, 3\rangle$ mamy $f(x) = -x + 5$ — funkcja malejąca, o wartościach mniejszych od $3$. Największą wartością funkcji $f$ na przedziale $\langle 2, 3\rangle$ jest więc $f(2) = 4$.

Rozwiązanie zadania 12.2

Zbiór wartości. Dla $x \in \langle -4, 2\rangle$ wyrażenie $x + 2$ przyjmuje wartości od $f(-4) = -2$ do $f(2) = 4$, czyli przedział $\langle -2, 4\rangle$. Dla $x \in (2, 5)$ wyrażenie $-x + 5$ przyjmuje wartości z przedziału $(0, 3)$, który zawiera się w $\langle -2, 4\rangle$. Zbiorem wartości funkcji jest zatem przedział $\langle -2, 4\rangle$.

Argumenty, dla których $f(x) > 1$. Na przedziale $\langle -4, 2\rangle$: $x + 2 > 1$, czyli $x > -1$, co daje $(-1, 2\rangle$. Na przedziale $(2, 5)$: $-x + 5 > 1$, czyli $x < 4$, co daje $(2, 4)$. Łącząc oba wyniki (w punkcie $x = 2$ jest $f(2) = 4 > 1$), otrzymujemy przedział $(-1, 4)$.

Odpowiedzi

12.1: $x = 1$ oraz największa wartość $= 4$.    12.2: zbiór wartości $\langle -2, 4\rangle$, argumenty $(-1, 4)$.

Potrzebujesz pomocy z matematyki?

Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania maturalne samodzielnie, umów bezpłatną lekcję próbną z korepetytorem TutorLink. Uczymy krok po kroku, indywidualnie i w tempie dopasowanym do Ciebie.

Powiązane

Zobacz wszystkie rozwiązania zadań z matury 2026. Przeczytaj też: Matura 2026 (maj) zadanie 14 oraz Matura 2026 (maj) zadanie 15.