To zadanie maturalne z matematyki (poziom podstawowy) łączy wzór na odległość punktów z własnościami przekątnej kwadratu. Poniżej znajdziesz pełne rozwiązanie krok po kroku.
Treść zadania
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A = (-1, 5)$ oraz $C = (3, -3)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$. Pole kwadratu $ABCD$ jest równe:
A) $8\sqrt{10}$
B) $16\sqrt{5}$
C) $40$
D) $80$
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Punkty $A$ i $C$ to przeciwległe wierzchołki, więc odcinek $AC$ jest przekątną kwadratu. Obliczamy jej długość ze wzoru na odległość dwóch punktów:
$$|AC| = \sqrt{(3-(-1))^2 + (-3-5)^2} = \sqrt{4^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80}$$
Krok 2. Przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $d = a\sqrt{2}$, skąd $d^2 = 2a^2$, czyli $a^2 = \frac{d^2}{2}$. Ponieważ pole kwadratu to $P = a^2$, możemy je policzyć wprost z przekątnej: $P = \frac{d^2}{2}$.
Krok 3. Podstawiamy $d^2 = |AC|^2 = 80$:
$$P = \frac{d^2}{2} = \frac{80}{2} = 40$$
Odpowiedź
Poprawna odpowiedź to C) $40$.
Co warto zapamiętać
Pole kwadratu można obliczyć bezpośrednio z długości przekątnej wzorem $P = \frac{d^2}{2}$ — nie trzeba wcześniej wyznaczać boku. Przy obliczaniu $d^2$ zwróć uwagę na kwadraty różnic współrzędnych (znaki nie mają znaczenia po podniesieniu do kwadratu).
Potrzebujesz pomocy z matematyki?
Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania maturalne samodzielnie, umów bezpłatną lekcję próbną z korepetytorem TutorLink. Uczymy krok po kroku, indywidualnie i w tempie dopasowanym do Ciebie.
