To zadanie maturalne z matematyki (poziom podstawowy) dotyczy podziału odcinka w danym stosunku w układzie współrzędnych. Poniżej znajdziesz pełne rozwiązanie krok po kroku.
Treść zadania
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są punkty $A = (1, 7)$ oraz $P = (3, 1)$. Punkt $P$ dzieli odcinek $AB$ tak, że $|AP| : |PB| = 1 : 3$. Punkt $B$ ma współrzędne:
A) $(9, -5)$
B) $(9, -17)$
C) $(7, -11)$
D) $(5, -5)$
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Skoro $|AP| : |PB| = 1 : 3$, to punkt $P$ leży w $\frac{1}{4}$ długości odcinka $AB$, licząc od $A$. Zachodzi więc zależność wektorowa $\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{AB}$, skąd $B = A + 4\,(P – A)$.
Krok 2. Obliczamy współrzędną $x$ punktu $B$:
$$x_B = x_A + 4(x_P – x_A) = 1 + 4(3 – 1) = 1 + 8 = 9$$
Krok 3. Obliczamy współrzędną $y$ punktu $B$:
$$y_B = y_A + 4(y_P – y_A) = 7 + 4(1 – 7) = 7 – 24 = -17$$
Odpowiedź
Punkt $B$ ma współrzędne $(9, -17)$ — poprawna odpowiedź to B) $(9, -17)$.
Co warto zapamiętać
Gdy punkt dzieli odcinek w stosunku $m : n$, licząc od $A$, to $\vec{AP} = \frac{m}{m+n}\vec{AB}$. Wygodnie jest rozpisać obliczenia osobno dla współrzędnej $x$ i osobno dla $y$.
Potrzebujesz pomocy z matematyki?
Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania maturalne samodzielnie, umów bezpłatną lekcję próbną z korepetytorem TutorLink. Uczymy krok po kroku, indywidualnie i w tempie dopasowanym do Ciebie.
