To zadanie maturalne z matematyki (poziom podstawowy) sprawdza warunek prostopadłości prostych oraz wyznaczanie wzoru funkcji liniowej. Poniżej znajdziesz pełne rozwiązanie krok po kroku.
Treść zadania
Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = -x + 1$. Funkcja $g$ jest liniowa. W prostokątnym układzie współrzędnych wykres funkcji $g$ przechodzi przez punkt $P = (0, -1)$ i jest prostopadły do wykresu funkcji $f$. Wzorem funkcji $g$ jest:
A) $g(x) = x + 1$
B) $g(x) = -x – 1$
C) $g(x) = -x + 1$
D) $g(x) = x – 1$
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Współczynnik kierunkowy funkcji $f$ wynosi $a_1 = -1$. Funkcję $g$ zapisujemy w postaci $g(x) = a_2 x + b$.
Krok 2. Warunek prostopadłości dwóch prostych: iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$, czyli $a_1 \cdot a_2 = -1$:
$$-1 \cdot a_2 = -1 \quad\Rightarrow\quad a_2 = 1$$
Krok 3. Wykres funkcji $g$ przechodzi przez punkt $P = (0, -1)$, więc podstawiamy $x = 0$ oraz $g(0) = -1$:
$$-1 = 1 \cdot 0 + b \quad\Rightarrow\quad b = -1$$
Krok 4. Zatem wzór funkcji $g$ ma postać:
$$g(x) = x – 1$$
Odpowiedź
Poprawna odpowiedź to D) $g(x) = x – 1$.
Co warto zapamiętać
Dwie proste (nierównoległe do osi układu) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi $-1$. Punkt postaci $(0, b)$ leży na osi $OY$ i od razu wskazuje wyraz wolny $b$ funkcji liniowej.
Potrzebujesz pomocy z matematyki?
Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania maturalne samodzielnie, umów bezpłatną lekcję próbną z korepetytorem TutorLink. Uczymy krok po kroku, indywidualnie i w tempie dopasowanym do Ciebie.
