To zadanie pochodzi z matury podstawowej z matematyki (czerwiec 2023) i sprawdza umiejętność przekształcania wyrażeń trygonometrycznych z wykorzystaniem tzw. jedynki trygonometrycznej. Poniżej znajdziesz pełne rozwiązanie krok po kroku.
Treść zadania
Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $\cos\alpha – \cos\alpha \cdot \sin^2\alpha$ jest równe:
A) $\cos^3\alpha$
B) $\sin^2\alpha$
C) $1 – \sin^2\alpha$
D) $\cos\alpha$
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wyłączamy wspólny czynnik $\cos\alpha$ przed nawias:
$$\cos\alpha – \cos\alpha \cdot \sin^2\alpha = \cos\alpha\,(1 – \sin^2\alpha)$$
Krok 2. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, z której wynika, że:
$$1 – \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$$
Krok 3. Podstawiamy $\cos^2\alpha$ w miejsce $1 – \sin^2\alpha$:
$$\cos\alpha\,(1 – \sin^2\alpha) = \cos\alpha \cdot \cos^2\alpha = \cos^3\alpha$$
Odpowiedź
Poprawna odpowiedź to A) $\cos^3\alpha$.
Co warto zapamiętać
Kluczem do tego typu zadań jest jedynka trygonometryczna $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ oraz umiejętność wyłączania wspólnego czynnika przed nawias. Gdy opanujesz te dwa narzędzia, podobne zadania na maturze rozwiążesz w kilkanaście sekund.
Potrzebujesz pomocy z matematyki?
Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać takie zadania samodzielnie, umów bezpłatną lekcję próbną z korepetytorem TutorLink. Uczymy krok po kroku, indywidualnie i w tempie dopasowanym do Ciebie.
