Matura 2026 (maj) zadanie 7 – wykaż, że 7n² + 21n jest podzielna przez 14 – rozwiązanie

To zadanie na dowód pochodzi z matury podstawowej z matematyki (maj 2026). Sprawdza umiejętność wykazywania podzielności wyrażenia algebraicznego. Poniżej znajdziesz pełne rozwiązanie krok po kroku.

Treść zadania

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2 + 21n$ jest podzielna przez $14$.

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Wyłączamy wspólny czynnik $7n$ przed nawias:

$$7n^2 + 21n = 7n(n + 3)$$

Krok 2. Zauważmy, że $14 = 2 \cdot 7$, a czynnik $7$ już otrzymaliśmy. Wystarczy więc wykazać, że $n(n+3)$ jest liczbą parzystą. Liczby $n$ oraz $n+3$ różnią się o $3$ (liczbę nieparzystą), więc mają różną parzystość — dokładnie jedna z nich jest parzysta. Iloczyn liczby parzystej i dowolnej liczby całkowitej jest parzysty, zatem $n(n+3) = 2k$ dla pewnej liczby całkowitej $k$.

Krok 3. Podstawiamy ten zapis do naszego iloczynu:

$$7n(n+3) = 7 \cdot 2k = 14k$$

Krok 4. Liczba $7n^2 + 21n = 14k$ jest wielokrotnością $14$, więc jest podzielna przez $14$ dla każdej liczby całkowitej $n$. Co należało wykazać.

Co warto zapamiętać

W dowodach podzielności rozkładamy wyrażenie na czynniki tak, aby pojawił się szukany dzielnik. Z dwóch liczb całkowitych różniących się o liczbę nieparzystą dokładnie jedna jest parzysta, więc ich iloczyn jest zawsze parzysty.

Potrzebujesz pomocy z matematyki?

Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania maturalne samodzielnie, umów bezpłatną lekcję próbną z korepetytorem TutorLink. Uczymy krok po kroku, indywidualnie i w tempie dopasowanym do Ciebie.

Powiązane

Zobacz wszystkie rozwiązania zadań z matury 2026. Przeczytaj też: Matura 2026 (maj) zadanie 10 oraz Matura 2026 (maj) zadanie 11.