To zadanie maturalne z matematyki (poziom podstawowy) wykorzystuje wzór na pole równoległoboku z sinusem kąta między bokami. Poniżej znajdziesz pełne rozwiązanie krok po kroku.
Treść zadania
Pole równoległoboku $ABCD$ jest równe $40\sqrt{6}$. Bok $AD$ tego równoległoboku ma długość $10$, a kąt $ABC$ równoległoboku ma miarę $135^\circ$. Długość boku $AB$ jest równa:
A) $8\sqrt{3}$
B) $8\sqrt{2}$
C) $16\sqrt{2}$
D) $16\sqrt{3}$
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Kąty $ABC$ i $BAD$ leżą przy tym samym boku $AB$, więc są sąsiednie i sumują się do $180^\circ$. Kąt $BAD$ ma zatem miarę:
$$\angle BAD = 180^\circ – 135^\circ = 45^\circ$$
Krok 2. Korzystamy ze wzoru na pole równoległoboku $P = a \cdot b \cdot \sin\alpha$, gdzie $a = AD = 10$, $b = AB$ oraz $\alpha = 45^\circ$. Podstawiamy dane (przyjmując $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$):
$$40\sqrt{6} = 10 \cdot AB \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \cdot AB$$
Krok 3. Wyznaczamy długość boku $AB$:
$$AB = \frac{40\sqrt{6}}{5\sqrt{2}} = 8 \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{3}$$
Odpowiedź
Poprawna odpowiedź to A) $8\sqrt{3}$.
Co warto zapamiętać
Pole równoległoboku to iloczyn dwóch sąsiednich boków i sinusa kąta między nimi: $P = a \cdot b \cdot \sin\alpha$. Sąsiednie kąty równoległoboku sumują się do $180^\circ$, a ponieważ $\sin(180^\circ – \alpha) = \sin\alpha$, do wzoru możemy użyć dowolnego z nich.
Potrzebujesz pomocy z matematyki?
Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania maturalne samodzielnie, umów bezpłatną lekcję próbną z korepetytorem TutorLink. Uczymy krok po kroku, indywidualnie i w tempie dopasowanym do Ciebie.
