To maturalne zadanie z matematyki (poziom podstawowy) jest zadaniem na dowód — wykazujemy podzielność wyrażenia algebraicznego przez 8. Poniżej znajdziesz pełne rozwiązanie krok po kroku.
Treść zadania
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ liczba $(2n+1)^2 – 1$ jest podzielna przez $8$.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Przekształcamy wyrażenie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$$(2n+1)^2 – 1 = 4n^2 + 4n + 1 – 1 = 4n^2 + 4n$$
Krok 2. Wyłączamy wspólny czynnik $4n$ przed nawias:
$$4n^2 + 4n = 4n(n+1)$$
Krok 3. Zauważamy, że $n(n+1)$ to iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych, a wśród dwóch kolejnych liczb zawsze jest liczba parzysta. Zatem $n(n+1)$ jest parzyste, czyli $n(n+1) = 2k$ dla pewnej liczby całkowitej $k$. Wtedy:
$$4n(n+1) = 4 \cdot 2k = 8k$$
Krok 4. Liczba $(2n+1)^2 – 1 = 8k$ jest wielokrotnością $8$, więc jest podzielna przez $8$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Co należało wykazać.
Co warto zapamiętać
W dowodach podzielności dążymy do zapisania wyrażenia w postaci iloczynu zawierającego szukany dzielnik. Iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych jest zawsze parzysty — to bardzo częsty i przydatny argument.
Potrzebujesz pomocy z matematyki?
Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania na dowód samodzielnie, umów bezpłatną lekcję próbną z korepetytorem TutorLink. Uczymy krok po kroku, indywidualnie i w tempie dopasowanym do Ciebie.
