To zadanie maturalne z matematyki (poziom podstawowy) sprawdza umiejętność obliczania pola trapezu z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych kąta ostrego. Poniżej znajdziesz pełne rozwiązanie krok po kroku.
Treść zadania
Dany jest trapez równoramienny $ABCD$, w którym podstawa $CD$ ma długość 6, ramię $AD$ ma długość 4, a kąty $BAD$ oraz $ABC$ mają miarę $60^\circ$. Oblicz pole tego trapezu.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Prowadzimy wysokość trapezu z wierzchołka $D$ na dłuższą podstawę $AB$. Powstaje trójkąt prostokątny z kątem $60^\circ$ przy wierzchołku $A$ i przeciwprostokątną $AD = 4$. Wysokość trapezu:
$$h = AD \cdot \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$
Krok 2. Odcinek odcięty na podstawie przy wierzchołku $A$ (rzut ramienia $AD$) wynosi:
$$x = AD \cdot \cos 60^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$
Krok 3. Ponieważ trapez jest równoramienny, dłuższa podstawa jest z obu stron dłuższa o $x$, więc:
$$AB = CD + 2x = 6 + 2 \cdot 2 = 10$$
Krok 4. Obliczamy pole trapezu ze wzoru $P = \frac{(a+b)}{2}\cdot h$:
$$P = \frac{6 + 10}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 8 \cdot 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$$
Odpowiedź
Pole trapezu jest równe $16\sqrt{3}$.
Co warto zapamiętać
W trapezie równoramiennym wysokość opuszczona z wierzchołka krótszej podstawy tworzy trójkąt prostokątny, w którym boki wygodnie liczymy funkcjami trygonometrycznymi kąta przy podstawie. Warto pamiętać wartości $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ oraz $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.
Potrzebujesz pomocy z matematyki?
Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania maturalne samodzielnie, umów bezpłatną lekcję próbną z korepetytorem TutorLink. Uczymy krok po kroku, indywidualnie i w tempie dopasowanym do Ciebie.
